Dimostrata (?) l’ipotesi di Riemann

Ieri un certo Xian-Jin Li della Purdue Brigham Young University University, ha pubblicato la dimostrazione del’ipotesi di Riemann, uno dei problemi matematici più noti degli ultimi due secoli. Probabilmente il più noto tra i 23 problemi per il ventesimo secolo che Hilbert enunciò alla conferenza internazionale di Parigi del 1900. L’articolo di Li si intitola, con molta fantasia, a proof of the Riemann Hypothesis e può essere scaricato qui.

Gli ultimi annunci di questo tipo sono arrivati nel 2004 dalla Purdue University, infatti, il professor Louis De Brange, di cui Xian-Jin Li sembrerebbe essere stato studente, aveva annunciato la scoperta di una dimostrazione dell’ipotesi che non ha convinto molto la comunità matematica. Sarà la volta buona? Speriamo di sì, perchè la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann permetterebbe a generazioni di matematici di non buttarsi dalla finestra, visto che è alla basa di molta della teoria dei numeri moderna.

Per capire l’ipotesi di Riemann occorre prima definire la funzione Zeta di Riemann ζ(z). La funzione è definita come la somma, per n che va da 1 a infinito, di 1/n^z.
In breve l’ipotesi afferma che dato un numero complesso z, se la funzione di Riemann ζ(z)=0 allora Re[z]= 1/2, dove Re è la parte reale del numero complesso. Ex. Re[4+3i]=4.

La sua importanza è data dal fatto che, come ha dimmostrato Eulero, questo fatto è legato alla distibuzione dei numeri primi e questo riveste importanza fondamentale, basti pensare alla crittografia che utilizza in modo massiccio la teoria dei numeri primi.

In ogni caso se la dimostrazione dovesse rivelarsi corretta, l’autore guadagnarebbe un bel milioncino di dollari messo a disposizione dal Clay Institute. Beato lui…

Errata: L’errore iniziale è stato causato dal fatto che Xian-Jin Li ha preso il Ph.D alla Purdue, con De Brange come advisor.

Update: La dimostrazione è sbagliata. Per questa volta niente da fare.

Ipotesi di Riemann su wikipedia

grazie a Luigi per la segnalazione e all’anonimo per la correzione
out.

Peractio

Ultimo giorno di lavoro qui.

Ora una bella piallata al PC da restituire e un fine settimana in tranquillità (più o meno).

out, e stavolta per davvero. :)

Biografie Matematiche/3 – Hamilton

Di matematici irlandesi ce ne sono ben pochi, i due più importanti sono Stokes e Hamilton. Questa mini biografia tratta proprio di William Rowan Hamilton (1805-1865).

Vita

Hamilton nacque a Dublino. Il padre era spesso via per lavoro e, all’età di 3 anni, i suoi studi vennero affidati allo zio, il Reverendo James Hamilton. Questa fu una fortuna per Hamilton, perchè lo zio era un bravo insegnante e riuscì a tirar fuori dal piccolo William tutto il suo genio in tenera età.

Mostrò subito una grandissima attitudine allo studio delle lingue, tanto che a 13 anni ne conosceva moltissime, tra le quali l’arabo, il sanscrito, l’aramaico,  ecc…

A 12 anni perse una gara di aritmetica con Zerah Colburn, un ragazzo prodigio americano suo coetaneo. Questo lo spronò verso lo studio della matematica che non abbandonò per il resto della sua vita. Nel 1827 divenne professore di Astronomia al Trinity College di Dublino, con qualche polemica da parte di alcuni suoi contemporanei, a causa della sua scarsa esperienza nelle osservazioni al telescopio.

A causa di un amore impossibile per una ragazza, Catherine Disney, per un breve periodo, si dedicò alla poesia considerando persino il suicidio. Durante un viaggio in Inghilterra conobbe e divenne amico del poeta William Wordsworth.

Si sposò con Helen Maria Bayly, con la quale ebbe due figli, ma il suo accanimento verso lo studio non permise al matrimonio di procedere molto bene, tanto che Hamilton cominciò anche a bere. Nel 1843, durante una passeggiata con moglie ebbe un’ispirazione e cominciò ad elaborare la teoria dei quaternioni. Era così preso dalla scoperta che si fermò a incidere i sui calcoli sulle pietre lungo la strada. In quel punto, nel 1958, venne eretta una targa per commemorare l’episodio.

Un incontro successivo con Catherine e lo scambio di una fitta corrispondenza fecero in modo da far sprofondare ancora di più nell’alcool e nel lavoro Hamilton.

Gli ultimi sei anni della sua vita vennero spesi nella stesura degli ‘Elements of quaternions’, il cui ultimo capitolo rimase incompleto a causa della sua morte, avvenuta per un fortissimo attacco di gotta.

Matematica

I contributi matematici più importanti di Hamilton, oltre alla matematica dei quaternioni, furono nel campo dell’ottica e della dinamica, in particolare per il mod in cui riuscì ad applicare alla fisica il calcolo differenziale. Un esempio classico è l’equazione di Hamilton-Jacobi .

Veniamo ai quaternioni. In parole povere (molto)  i complessi sono uno spazio a due dimensioni sui reali (a+ib, dove i²=-1), mentre i quaternioni sono un’estensione su 4 dimensioni. Un quaternione può essere scritto come

a+ib+jc+dk, dove  i²=j²=k²=ijk-1

Nonostante possano sembrare un semplice esercizio teorico, i quaternioni hanno avuto e hanno ancora un’importanza straordinaria. Infatti vengono utilizzati frequentemente nel caso in cui occorra fare calcoli su relativi a rotazioni e movimenti in un sistema tridimensionale, quindi in Computer grafica, in astronautica, ecc.

Come sempre qualche link:

Articolo da wikipedia (inglese) perchè su quella italiana c’e’ ben poco.

Wikiarticolone sui Quaternioni

Biografia da MacTutor

out.

Meno una…

Ultima settimana prima del cambio lavorativo.

Da quando ho dato le dimissioni e firmato il contratto per la nuova società mi hanno chiamato cinque diverse aziende per offrirmi un lavoro e un paio di esse anche molto appetibili.

Ma svegliarsi prima no, eh?

out.

Fastidio oroscopista

La maggior parte dei quotidiani e settimanali nazionali non è contenta se non pubblica la sua bella paginetta di oroscopi.

I motivi per cui questo avviene potrebbero essere due:

• ci credono. Vabbè, a questo non c’e’ commento che tenga. Passo oltre.
• non ci credono. Qui la faccenda si complica perchè se un giornale pubblica un oroscopo ma non ci crede lo fa per due motivi:
  • vuole intrattenere i lettori ‘non creduloni’, che comunque passeranno oltre fregandosene abbastanza dell’oroscopo.
  • vuole imbrogliare i lettori ‘creduloni’ sapendo di farlo, quindi con dolo.

La conclusione è che le pagine degli oroscopi sono inutili e/o dannose quindi vanno eliminate.

:-)

out.

Biografie Matematiche/2 – Fermat

A gentile richiesta proseguo con le mini biografie parlando di un anomalo matematico francese del diciassettesimo secolo: Pierre de Fermat (1601-1665).

Vita

La definizione di ‘principe dei dilettanti’ è molto azzeccata per definire la figura di Fermat. Non era infatti un matematico di professione, bensì un funzionario statale presso il parlamento di Tolosa. Nacque nel 1601 in una cittadina non lontano da Tolosa e divenne magistratoe, in seguito, consigliere. Era il periodo in cui si insediò al potere il cardinale Richalieu, quindi i funzionari pubblici tendevano ad esse molto cauti e discreti nello svolgimento della loro attività. Questo, insieme alla tendenza ad avere meno rapporti possibile con il popolo per non farzi influenzare nei giudizi, portò Fermat a passare il tempo libero sui libri, in particolare sull’Arithmetica di Diofanto, il trattato che lo spinse verso le sue scoperte più note.

Pubblicava pochissimo, non era particolarmente interessato al riconoscimento pubblico delle sue capacità. La maggior parte delle sue scoperte sono note grazie ai sui scambi di corrispondenza con i contemporanei Blaise Pascal e Marin Mersenne, che pubblico molti studi del suo ‘collega’.

Spesso chiedeva, come sfida ad altri matematici, di dimostrare risultati che lui aveva già sviscerato. Alcuni matematici del suo tempo trovavano molto irritante la mancanza di rigore negli scritti di Fermat, ma ciò non toglie che i risultati da lui raggiunti sono stati sorprendenti per una persona senza un curriculum di studi specifico.

La vicenda più famosa che lo riguarda è ovviamente quella dell’ultimo (o grande) teroema di Fermat. In breve il teorema afferma che non esistono terne di interi positivi x, y, z tali che xⁿ+yⁿ=zⁿ per n>2. A margine dell’Arithmetica, Fermat scrisse di aver trovato una dimostrazione mirabile, che tralasciava per mancanza di spazio. Nonostante questo fosse un comportamente normale per Fermat, la ricerca di questa dimostrazione ha impiegato schiere di matematici per centinaia di anni. Finalmente nel ‘94 Andrew Wiles riuscì nell’intento e l’enigma venne risolto (a tal proposito seganlo il bellissimo libro di Simon Singh L’ultimo teorema di Fermat che ripercorre la ricerca della dimostrazione con un linguaggio adatto a tutti.

In realtà la dimostrazione di Wiles utilizza tecniche matematiche sconosciute al tempo di Fermat, quindi, se il matematico francese aveva veramente trovato una soluzione, questa avrebbe dovuto essere molto diversa. Molti sospettano che la dimostrazione di Fermat non sia mai esistita, altri pensano che Fermat ritenesse veramente di aver dimostrato il teorema, ma con qualche imperfezione nel procedimento di cui non si rese conto. Ciò non toglie che il risultato è stato verificato e l’intuizione di Fermat era giusta.

Matematica

Il contributo alla matematica del seicento dato da Pierre de Fermat fu fondamentale soprattutto per gli spunti che ha dato alla nascita di nuove discipline. In particolare fu grazie ai sui studi sulla rappresentazione delle funzioni (prima di Descartes) e sulla ricerca delle tangenti che Newton sviluppò il calcolo differenziale. Il calcolo delle probabilità nacque sostanzielmente grazie alla corrispondenza tra Fermat e Pascal.

Ovviamente, ne abbiamo avuto un esempio con l’ultimo teorema, importanti scoperte le fece nel campo della teoria dei numeri. Dimostrò numerosi teoremi con un metodo da lui inventato, la discesa infinita. Scoprì una nuova coppia di numeri amicabili, cioè numeri tali che la somma dei divisori dell’uno dia esattamente l’altro, ad esempio 220 e 284. Infatti 284 è divisibile per 1,2,4,71,142 e la somma è 220. Viceversa per il 220. La coppia trovata da Fermat è 17296,18416. Ipotizzò che ogni numero primo del tipo 4n+1 potesse essere la somma di due quadrati, la dimostrazione venne trovata in seguito da Leibniz ed Euler. Mi fermo qui con l’elenco perchè, citando Fermat, ‘questo margine è troppo stretto perchè possa contenerlo‘.

Per approfondire, qualche link e qualche suggerimento di lettura:

Articolo da wikipedia

Biografia da MacTutor

Carl Boyer, Storia della Matematica, Mondadori

Simon Singh, L’ ultimo teorema di Fermat, BUR

out.

Biografie Matematiche/1 – Ramanujan

Con questo post inauguro una serie di mini biografie di grandi matematici del passato. La serie non avrà un ordine preciso, nè una frequenza prestabilita. In sostanza, quando avrò voglia e tempo scriverò un nuovo capitolo.

Si parte con uno dei più ‘anomali’ matematici di tutti i tempi: Srinivasa Ramanujan (1887-1920).

Vita

Nato in India da una famiglia molto povera mostrò sin da piccolo una grande attitudine per la matematica che studiò, principalmente da autodidatta, su testi presi in prestito. Durante la scuola superiore ottenne numerosi riconoscimenti in ambito matematico, ma tralasciò lo studio dele altre materie tanto da fallire ripetutamente gli esami del college. Per questo fu costretto a vivere di sussidi fino a trovare un lavoro come impiegato presso l’autorità portuale di Madras, grazie al matematico Ramachandra Rao.

Pubblicò una serie di articoli su giornali indiani di matematica, ma non ottenne riscontri. Scrisse, quindi, a tre noti matematici di Cambridge tra i quali Thomas Hardy che riconobbe le capacità di Ramanujan raccomandandolo per un posto di ricercatore all’università di Madras e, in seguito, invitandolo in Inghilterra. Ramanujan era un bramino ortodosso, quindi prima di mettersi in viaggio, dovette aspettare il benestare della madre che accettò dopo una ‘visione’.

A 27 anni Ramanujan partì per Cambridge e vi rimase per 5 anni collaborando con Hardy e John Littlewood. Ottenne una laurea ‘per merito’ e fu il primo indiano che ottenne di far parte della Royal Society nel 1918, nel frattempo raggiunse molti risultati di rilievo.

La sua salute, però, risentì molto della permanenza in Inghilterra anche perchè aveva difficoltà a rispettare la dieta che la sua casta imponeva. Tentò anche il suicidio gettandosi sui binari della metropolitana. Appena la sua condizione migliorò lievemente torno in India e lì morì a 33 anni.

Matematica

Nei suoi primi anni da autodidatta, Ramanujan sviluppò un modo molto personale di scrivere di matematica. Compilò tre quaderni pieni di risultati matematici, di cui però non dava dimostrazioni rigorese. La sua lontananza dal modo di ‘fare matematica’ della cultura occidentale lo portò a non esplicare tutti i calcoli ma a mettere per iscritto solo le sue intuizioni, forse a causa del suo primo libro di matematica A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics di George S. Carr, una raccolta di risultati senza dimostrazione. Durante la sua giovinezza passò molto tempo a ritrovare le dimostrazioni di molti risultati presenti nel libro.

Quando Hardy lesse alcuni dei risultati di ramanujan, riuscì fortunatamente a capire cosa ci fosse dietro e fu tanto lungimirante da voler conoscere l’autore di quegli strani risultati. Tra le altre cose, Ramanujan riscoprì molti risultati già noti al mondo scientifico (ma non a lui) tra i quali risultati di Gauss e di altri grandi matematici.

La collaborazione con Hardy fu fondamentale per la matematica moderna. Tra i risultati ottenuti si può citare la funzione di partizione p(n) che indica il numero di modi in cui un numero intero può essere scritto come somma di altri interi. Per esempio p(3)=3 infatti 3=1+1+1, 3=1+2, 3=3. Ramanujan riuscì a trovare una formula generale per ogni n, risultato che superò anche quello di Eulero.

Tra gli altri suoi risultati si possono ricordare la Funzione Theta di Ramanujan, i suoi lavori sulle serie infinite e sulle frazioni continue, lavori fondamentali di teoria dei numeri

Va ricordata anche la congettura di Ramanujan, che ipotizza la dimensione dei coefficienti della funzione Tau. Secondo Ramanujan, questi rispettavano la seguente formula: . La congettura verrà dimostrata molti anni dopo.

Per approfondire, qualche link e qualche suggerimento di lettura:

Articolo da Wikipedia

Biografia da MacTutor

Carl Boyer, Storia della Matematica, Mondadori

Marcus DeSautoy, L’ enigma dei numeri primi. L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica, BUR

out.

Religio breviter

Qui mi prenderò qualche insulto, ma pazienza…

Non sono solamente ateo, sono contrario alla religione in quanto tale, al pari di qualsiasi altra superstizione.

Da millenni, la religione impedisce la crescita dell’uomo in vari modi. Imponendo regole, spesso  anacronistiche , imponendo un certo tipo di moralità, imponendo modelli di comportamento.

La risposta comune al mio senso di malessere nei confronti delle credenze religiose è: “ma che male ti fanno? Se una persona vuole credere è libera di farlo. Bisogna rispettare chi ha idee diverse dalle tue”.

Onestamente delle idee degli altri non frega una ceppa. Chiunque è liberissimo di credere a quello che cavolo vuole però, se devo subire interferenze nella mia vita perchè qualcun’altro vuole imporre le sue regole cristiano/musulman/ebraico/buddiste alla vita civile, mi altero non poco.

Sostanzialmente, voi credenti, fatevi i ca**i vostri e lasciatemi vivere la mia vita.

out.

Conversazione

al bar

impegata A: Io a internet non ci vado più.

impiegata B: perchè.

A: perchè mi dice le cose sbagliate e mi fa spaventare… per esempio ieri un’amica ha cercato informazioni per la sua malattia su internet e ha scoperto che il suo medico ha sbagliato tutto… ma secondo me ha sbagliato internet… è pericoloso.

B: davvero? pensa… comunque io ci sono andata solo una volta. Mi è bastato, guarda.

A:infatti.

La conversazione sopra riportata si è svolta al bar aziendale di una grande azienda. Le due tizie (impiegate che per lavoro usano il pc tutto il giorno) erano dietro di me…. è stata dura trattenersi.

out.

Omeopatia, maddechè?

Conosco alcune persone che usano farmaci omeopatici. Spesso mi ritrovo a discutere con loro sull’efficacia dell’omeopatia. Quesi mai riesco a convincerli dell’inconstistenza di tali cure rispetto a un normale effetto placebo. Perchè?

Molti di essi, in realtà, non sanno neanche cosa sia esattamente l’omeopatia che viene spacciata per un qualche tipo di medicina naturale. L’omeopatia prevede di trovare una sostanza che produca sintomi simili a quelli della malattia di cui si cerca la cura per poi somministrarla al malato in forma diluita.

Il fatto è che la diluizione è talmente alta che gli effetti sono gli stessi dell’acqua fresca, cioè i tipici effetti di un placebo. Non sto qui a dilungarmi sugli studi fatti che negano l’efficacia dei farmaci omeopatici, in particolare quelli di Lancet, consiglio però di leggere lo ’speciale omeopatia’ qui per farsi un’idea.

Quando chiedo a qualcuno il motivo per cui si fidi dell’omeopatia, nella maggior parte dei casi mi si risponde che un conoscente la usa ed è soddisfatto dei risultati…

Praticamente me l’ha detto a mio cugggino.

out.